Saggiare la qualità degli strumenti di misurazione con il Gage R&R

Distribuzioni di valori estremi

Degradazione moltiplicativa in ingegneria dell’affidabilità

Personalizzazione dell’unità di misura in Weibull++

Saggiare la qualità degli strumenti di misurazione con il Gage R&R

Nel controllo della qualità di prodotti e processi è fondamentale disporre di sistemi di misurazione idonei al compito da svolgere, al fine di ottenere risultati il più vicini possibili ai valori reali, e di conseguenza compiere scelte in base a dati veritieri.

Per determinare l’idoneità di un sistema di misurazione, si ricorre al cosiddetto Gage R&R, un’analisi statistica che rientra all’interno della disciplina della “Measurement System Analysis”, e grazie alla quale è possibile discriminare i fattori che influenzano le variazioni nelle misurazioni, e l’entità di questa influenza. Gli aspetti principali sui quali si focalizza il Gage R&R sono la ripetibilità, legata allo strumento di misurazione, e la riproducibilità, legata all’operatore che compie la misurazione.

La suite ReliaSoft offre la capacità di svolgere un gage R&R efficace attraverso il software per le analisi di vita Weibull++. Inoltre, il programma permette di svolgere ulteriori analisi dei sistemi di misurazione, quali il Gage Agreement e la misurazione di linearità e bias.

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Fondamenti di Measurement System Analysis

Per definire correttamente il gage R&R, occorre prima introdurre alcuni concetti fondamentali di analisi dei sistemi di misura, quali:

Accuratezza. La differenza tra il valore atteso di una misura e il valore medio di numerose misure compiute. Minore è la differenza, maggiore è l’accuratezza. Questa proprietà si lega al concetto di errore sistemico.
Precisione. La variabilità statistica presente nelle misurazioni, ovvero una stima di quanto i valori misurati si discostano dal valore medio. Questa proprietà si lega al concetto di errore casuale.
Ripetibilità. La variabilità dei risultati ottenuti da un particolare strumento, ipotizzando delle misure ripetute nelle stesse condizioni dallo stesso operatore. Un valore elevato indica una significativa oscillazione dei risultati dovuta a difetti presenti nello strumento.
Riproducibilità. La variabilità dei risultati ottenuti da un particolare strumento, ipotizzando delle misure ripetute nelle stesse condizioni ma da operatori diversi. Un valore elevato indica una significativa oscillazione dei risultati dovuta a errori compiuti dal personale che effettua l’analisi.

In maniera controintuitiva, quindi, degli elevati valori di ripetibilità e riproducibilità sono indesiderati, poiché portano a diffidare rispettivamente della qualità dello strumento di misura e della competenza degli operatori che compiono le misurazioni.

Si noti inoltre la similitudine tra i concetti di ripetibilità e precisione. Entrambi offrono una stima della variazione tra misurazioni ripetute, ma la ripetibilità pone maggiore enfasi sulla costanza delle condizioni di misurazione.

Errori di misurazione

Una delle maggiori sfide che riguardano le analisi dei sistemi di misurazione è sicuramente la gestione e la minimizzazione degli errori di misura. Questi possono provenire da svariate fonti, quali lo strumento, le abilità dell’operatore, le condizioni ambientali, e la natura della misurazione stessa.

Gli errori sono classificati in due principali categorie, sistematici e casuali. Gli errori sistematici (detti anche offset) sono dei valori pressoché costanti che tendono a spostare il valore misurato lontano dal valore atteso. Per questa loro natura, essi sono prevedibili e facilmente compensabili. Gli errori casuali, invece, causano variazioni imprevedibili nelle misurazioni, e per questo sono molto più complessi da gestire.

Nell’industria, è possibile classificare i fattori che influenzano gli errori di misurazione in cinque categorie, mnemonicamente raggruppate nell’acronimo “SWIPE”:

Standard. Lo standard sulla base del quale si effettua la misurazione deve avere caratteristiche adatte al tipo di misurazione svolta. Ad esempio, si consideri la misura dell’alesaggio di un cilindro di 1cm con una tolleranza di 0.0005mm. Se l’alesametro possiede una tolleranza di classe Y di 0.0001mm, il 20% della tolleranza misurata sarà dovuta allo strumento, e non al prodotto. Occorre dunque prestare attenzione alle specifiche dettate dagli standard.
Workpiece. Ogni prodotto possiede caratteristiche variabili, come ad esempio rastremazioni o difetti nella finitura. L’operatore deve essere al corrente di queste peculiarità, e accertarsi che la misurazione avvenga sempre nello stesso punto del provino.
Instrument. Gli strumenti possiedono dei bias intrinsechi, come la linearità, che devono essere considerati nella misurazione. Essi possono essere dovuti a difetti di fabbricazione, oppure a una cattiva manutenzione da parte dell’utente.
Personnel. Il personale che effettua la misurazione deve essere adeguatamente istruito nell’uso dello strumento, pena una misurazione approssimativa e scorretta.
Environment. Fattori ambientali come la temperatura o l’umidità modificano il materiale del provino, e influiscono significativamente sulle misurazioni. Occorre dunque effettuare le analisi in ambienti estremamente controllati, affinché l’influenza dei fattori ambientali sia minima.

Fig. 1: Diagramma di Ishikawa dei fattori che influenzano gli errori di misurazione.

Cos’è il gage R&R e perché svolgerlo

I concetti di ripetibilità e riproducibilità sono le colonne portanti del cosiddetto “Gage R&R”, ovvero un approccio statistico per determinare l’adeguatezza di un particolare strumento al tipo di misurazione di un prodotto. I risultati di quest’analisi sono molteplici: le stime di ripetibilità e riproducibilità, le quali indicano rispettivamente la variazione nelle misurazioni dovuta allo strumento e quella dovuta all’operatore, e il rapporto tra la variabilità dovuta al prodotto e la variabilità dovuta alla misurazione. Il “gage” è lo strumento da analizzare, mentre “R&R” coincide con “Repeatability & Reproducibility”.

Il gage R&R svolge un ruolo fondamentale nell’analisi dei processi produttivi. L’utilizzo di strumenti di misurazione non adeguati, infatti, compromette la bontà della misurazione stessa. Allo stesso modo, un operatore inesperto che utilizza lo strumento in modo inadeguato fornirà delle misurazioni di scarso valore. Da queste verrebbero poi tratte delle conclusioni errate, da cui scaturirebbero decisioni che ridurrebbero notevolmente la qualità del prodotto finito.

Si consideri ad esempio un resistore da 10 ohm, il quale possiede una tolleranza di circa 0.005 ohm, la cui resistenza è misurata attraverso uno strumento non conforme. Se la resistenza misurata fosse superiore al valore di tolleranza, il componente verrebbe scartato. È tuttavia possibile che il componente in sé sia conforme, ma che la variazione insita nello strumento di misurazione abbia tratto in inganno l’operatore; questa casistica si indica come “falso scarto”. Al contrario, il componente misurato potrebbe apparire conforme, ma anche in questo caso lo strumento potrebbe non essere veritiero; si parla dunque di “falsa accettazione”. Entrambi gli esiti sono indesiderabili: il primo porta il produttore a scartare inutilmente prodotti validi, il secondo a immettere sul mercato prodotti non conformi.

Le 3 forme del gage R&R

Gage R&R incrociato (cross)

Adatto per analisi non distruttive, come ad esempio la misurazione del diametro di un bullone. Ciascun operatore misura ciascuna parte, con l’obiettivo di determinare l’influenza del sistema di misurazione nella variazione delle misure. Il setup minimo richiesto per svolgere quest’analisi prevede la presenza di almeno 3 operatori, i quali testano ciascuno 10 prodotti per 2 volte, per un totale di 60 misurazioni.

Fig. 2: schema di un Gage R&R incrociato.

Gage R&R annidato (nested)

Adatto per analisi distruttive, come la misura della forza necessaria a rompere una catena. Questo metodo è definito “nested” perché gli operatori non possono ciascuno testare tutti i prodotti, ma solo dei campioni da ogni lotto. Affinché l’analisi risulti valida, tutti i campioni di ciascun lotto devono avere caratteristiche pressoché identiche, tali per cui possano essere identificati come un unico prodotto.

Fig. 3: schema di un Gage R&R annidato.

Gage R&R espanso (expanded)

I gage R&R incrociati e annidati considerano variabili al massimo 2 fattori: il prodotto da misurare, e l’operatore che compie la misurazione. In alcuni casi, tuttavia, questi non sono sufficienti per ottenere una comprensione completa del sistema di misura. Dunque, è necessario considerare almeno un terzo fattore variabile, ovvero lo strumento stesso (gage).

Si consideri il caso di un produttore di minuteria con più linee di produzione, ognuna con un proprio sistema di misurazione. Considerando ciascuna linea in maniera isolata, i sistemi di misurazione appaiono adeguati, ma vi è comunque una consistente produzione di prodotti non conformi. Un gage R&R espanso mette in luce una variabilità significativa tra strumento e strumento, poiché ciascuno è tarato secondo il proprio standard. Armonizzando gli strumenti a un solo standard, il contributo di variabilità dato da questi si riduce drasticamente.

Uno dei maggiori vantaggi del gage R&R espanso è la necessità di minori data points rispetto a un gage R&R standard, rendendolo attraente per chi possiede pochi dati.

Fig. 4: confronto fra Gage R&R standard ed espanso.

Come svolgere un gage R&R

Un gage R&R si può svolgere in diversi modi, ma 2 sono i principali. Il primo approccio, detto “average and range”, è semplice ma rudimentale. Il secondo, invece, consiste nell’applicare l’ANOVA ai dati grezzi, e offre risultati migliori rispetto all’approccio classico.

Average and range

Il metodo Average and Range si basa sul calcolo della media e dell’intervallo, sia all’interno che tra le varie campionature. I risultati ottenuti sono espressi in termini di deviazione standard. Algebricamente, le metriche sono definite come

Metrica	Definizione
Ripetibilità	$\sigma_{\text{repeatability}} = \frac{\overline{\overline{R}}}{d_2}$
Riproducibilità	$\sigma_{ \text{reproducibility} } = \sqrt{ \left( \frac{R_o}{d_2} \right)^2 – \frac{ \left(\sigma_{\text{repeatability}} \right)^2}{nr}}$
Gage R&R	$\sigma_{\text{gage}} = \sqrt{\sigma_{ \text{reproducibility} }^2 + \sigma_{\text{repeatability}}^2}$
Variazione del prodotto	$\sigma_{\text{product}} = \frac{R_p}{d_2}$
Variazione totale	$\sigma_{t} = \sqrt{\sigma^2_{\text{gage}} + \sigma^2_{\text{product}}}$

Con

$\overline{\overline{R}}$ media degli intervalli di tutte le misurazioni effettuate da tutti gli operatori.
$d_2$ fattore di trasformazione ottenuto da tabelle standard pubblicate da AIAG.
$n$ il numero di parti misurate.
$r$ il numero di ripetizioni delle misure.
$R_o$ intervallo di misurazione tra gli operatori, ovvero la differenza tra il massimo e il minimo delle medie misurate tra gli operatori.
$R_p$ intervallo di misurazione tra le parti, ovvero la differenza tra il massimo e il minimo delle medie misurate per ogni parte.

Le metriche ottenute permettono il calcolo di due importanti risultati, ovvero il rapporto precisione / tolleranza, e la percentuale di variazione totale del processo.

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Rapporto precisione / tolleranza

Il rapporto precisione / tolleranza confronta la precisione dello strumento con la tolleranza specificata per un particolare prodotto. Questo risultato è utile se il nostro strumento è utilizzato per misurare la conformità del prodotto alla specifica, ed è espresso come

$$\text{PTR} = \frac{6 * \sigma_{\text{gage}}}{\text{tolleranza max} – \text{tolleranza min}}$$

Percentuale di variazione totale del processo

La percentuale di variazione totale del processo confronta la variazione introdotta dal sistema di misurazione con la variazione introdotta dal processo produttivo. Questo risultato è utilizzato principalmente nella disciplina denominata Statistical Process Control (SPC), ed è espresso come

$$\text{Variazione percentuale} = \frac{\text{Gage R&R}}{\text{Variazione totale}}$$

Considerando la variazione percentuale, AIAG prevede le seguenti linee guida per giudicare l’idoneità dello strumento in esame:

$\lt 10%$ — la variazione dovuta al sistema è ragionevolmente bassa, per cui lo strumento si considera idoneo alla misurazione.
$\gt 10\% \wedge \lt 30\%$ — la variazione è ancora accettabile, ma solo in determinate condizioni. Occorre valutare l’idoneità assieme al rischio e ai costi che questa comporta.
$\gt 30\%$ — la variazione è troppo elevata, dunque lo strumento non è idoneo alla misurazione.

Il metodo “average and range” è piuttosto semplice da implementare in un foglio di calcolo, ma è al contempo grezzo. Infatti, non tiene conto della variazione dovuta alle interazioni tra operatore e parte, e può dunque portare a calcoli errati. Inoltre, i risultati possono apparire poco intuitivi, poiché questi sono forniti in termini di deviazioni standard, le quali non sono additive.

ANOVA

I software statistici come Weibull++ implementano il metodo Analysis of Variance (ANOVA) per compiere gage R&R. Questa metodologia, infatti, permette di stimare la varianza associata a ciascun fattore presente nella misurazione, e di determinare se le interazioni tra i fattori sono statisticamente significative.

Nella metodologia ANOVA, la varianza totale associata al prodotto finito dipende da 3 fattori:

La varianza dovuta al processo produttivo.
La varianza dovuta alla campionatura.
La varianza dovuta al metodo di misurazione.

In termini matematici

$$\sigma^2_{\text{totale}} = \sigma^2_{\text{processo}} + \sigma^2_{\text{campionatura}} + \sigma^2_{\text{misurazione}}$$

Occorre innanzitutto definire dei termini fondamentali, necessari per comprendere la metodologia ANOVA:

Gradi di libertà (DoF). Il numero di fattori variabili all’interno dell’analisi. A questo si sottrae 1 per compensare la perdita di accuratezza dovuta alla campionatura di una popolazione.
Somma di quadrati (SS). La somma dei quadrati delle differenze tra la media di un insieme di misurazioni e ciascuna misurazione. La somma totale dei quadrati offre una visione d’insieme della variazione totale.
Media quadratica (MS). Il rapporto tra la somma dei quadrati e i gradi di libertà. Questa metrica offre una stima dell’influenza del singolo fattore sulla variazione totale. Definita come $\frac{\text{SS}}{\text{DoF}}$.
Valore F. Il rapporto tra le medie quadratiche dei vari fattori di influenza. Offre un giudizio sulla significatività statistica di un particolare fattore. Maggiore è il valore F, più significativa sarà l’influenza del fattore in esame sul risultato. In Weibull++, la significatività è espressa anche in termini di p-value, con significato opposto.

Si consideri un esempio di Gage R&R incrociato, in cui 3 operatori misurano 5 componenti per 3 volte ciascuno, per un totale di 45 punti dati. I dati richiesti da Weibull++ sono:

Codice identificativo della parte in esame.
Codice identificativo dell’operatore che compie la misurazione.
Risultato della misurazione.
Numero della misurazione corrente.

Fig. 5: interfaccia di Weibull++ per svolgere un Gage R&R.

Dopo aver inserito i dati nel foglio, il programma è in grado di calcolare tutte le metriche di interesse con un semplice click. Il pannello di controllo sul lato destro permette all’utente di impostare alcuni parametri dell’analisi, tra cui il livello di rischio, ovvero il rischio che i risultati dell’analisi siano scorretti ($1 – \text{livello di confidenza}$), e il tipo di analisi da svolgere (incrociata o annidata).

Con eguale facilità è possibile visualizzare i risultati del Gage R&R nelle tabelle “ANOVA” e “Gage variance”.

Fig. 6: tabella ANOVA in Weibull++.

Nella tabella ANOVA, i risultati sono ordinati per fonte di variazione. In questa analisi sono presi in considerazione l’operatore, la parte, l’interazione tra questi due, e lo strumento. La metrica di maggiore interesse è il “p-value”, il quale indica se una fonte di variazione è statisticamente significativa, a patto che il risultato sia minore del livello di rischio impostato all’inizio dell’analisi. In questo esempio, sia la varianza dovuta al componente che la varianza dovuta all’operatore sono significative, e dunque sono evidenziate in rosso.

Una breve parentesi: perché non viene calcolato il valore F della “repeatability”? Si tenga a mente che F è un rapporto di medie quadratiche. Infatti, $F_{\text{part} \cdot \text{operator}} = \frac{\text{MS}_{\text{part} \cdot \text{operator}}}{\text{MS}_\text{repeatability}}$, dunque si tiene conto della somma quadratica della “repeatability” nel valore F dell’interazione tra parte e operatore.

Nella sezione “Gage variance results” sono invece mostrati i risultati e il loro contributo dei fattori in termini di varianza e deviazione standard, con la riproducibilità suddivisa in un contributo dovuto al solo operatore, e uno dovuto all’interazione tra operatore e componente. Dalla tabella emerge subito il vantaggio del metodo ANOVA e del calcolo delle varianze sul metodo “media e intervallo” e il calcolo delle deviazioni standard: le metriche “Total Gage R&R” e “Total variation” sono la somma pulita delle variazioni; lo stesso non si può dire per le deviazioni standard.

Analizzando i risultati, si evince che le variazioni dovute allo strumento e all’operatore sono poco significative rispetto alla variazione intrinseca al componente stesso. Dunque, il sistema di misura scelto è certamente adeguato al tipo di misurazione da svolgere.

Anche per questo metodo si possono tracciare delle linee guida per giudicare l’adeguatezza o meno del sistema di misura. Tuttavia, poiché le linee guida AIAG prendono in considerazione le deviazioni standard, occorre adattare i valori di soglia al calcolo delle varianze:

$\lt 1\%$ — Sistema di misurazione adeguato.
$\gt 1\% \wedge \lt 9\%$ — Sistema non del tutto adeguato, per cui vi sono dei rischi consistenti nell’utilizzo.
$\gt 9\%$ — Sistema totalmente inadeguato.

Risultati grafici

I risultati del metodo ANOVA sono visualizzabili non solo in maniera tabellare, ma anche grafica. Weibull++ possiede numerosi template per il confronto visivo delle varie metriche dell’analisi, come diagrammi a torta, istogrammi, run chart, R-chart, X-chart, ecc.

Il grafico a torta della variazione mostra in maniera semplice il contributo alla variazione apportato da ciascun elemento in relazione alla variazione totale o parziale. I grafici comprendono: la variazione totale sul componente, confronto tra la varianza del gage e della parte, confronto tra ripetibilità e riproducibilità, e interazione fra operatore e parte.

Fig 7.: grafico a torta della variazione

Un altro modo di osservare il contributo di ciascun fattore è attraverso l’istogramma “variation components”. In questo caso, si può osservare come la varianza intrinseca al componente sia la più prominente, dunque lo strumento in esame è adeguato alla misurazione.

Fig. 8: istogramma della variazione dei componenti.

Il diagramma R (R-chart) mostra gli intervalli (range) di misurazione di ciascuna parte, raggruppati per operatore, ed è utilizzato per studiare la riproducibilità. I punti blu rappresentano l’intervallo medio di misurazione per una specifica parte per uno specifico operatore, la linea tratteggiata blu rappresenta l’intervallo medio generale di tutte le misurazioni, e infine le linee tratteggiate rosse rappresentano i limiti previsti per gli intervalli delle misurazioni. Normalmente, tutti i punti dovrebbero rientrare all’interno dei limiti. Se alcuni dei punti fossero al di fuori di questi, significa che l’operatore ha commesso degli errori di misurazione.

Nel caso in esame, solo un intervallo medio cade al di fuori dei limiti, dunque è possibile affermare che gli operatori hanno una buona padronanza dello strumento.

Fig. 9: diagramma a R per operatore.

Il grafico X-bar confronta invece i valori medi delle misurazioni per ciascuna parte con il valore medio delle misurazioni totali. I limiti in questo caso rappresentano i valori entro il quale qualsiasi variazione è indistinguibile dalla variazione dovuta allo strumento. Dunque, è auspicabile che tutti i valori medi delle misurazioni si trovino al di fuori dell’intervallo dei limiti di controllo; se ciò non fosse vero, significa che la variazione dovuta allo strumento è troppo grande, e inquinerà sicuramente i risultati.

Nell’esempio sottostante, solo pochi punti ricadono all’interno dell’intervallo, per cui la variazione dovuta allo strumento è trascurabile.

Fig. 10: grafico X-bar per operatore.

Il grafico di interazione tra operatore e parte mostra eventuali interazioni tra questi due fattori che influenzano la misurazione. È simile al grafico X-bar precedente, ma le linee relative a ciascun operatore sono disegnate in parallelo. Se comparissero intersezioni tra le linee, allora vi è un’interazione significativa tra operatore e parte, la quale influenzerebbe la misurazione.

Fig. 11: grafico dell’interazione tra operatore e parte.

Gli ultimi tre grafici sottostanti confrontano i valori misurati con i valori medi delle misurazioni, sia per parte che per operatore.

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Conclusione

In questo articolo è stata offerta una trattazione del Gage R&R, una particolare analisi il cui obiettivo è saggiare l’adeguatezza di un sistema di misura a una misurazione da svolgere. Dopo una panoramica sulle diverse tipologie di analisi, sono stati presentati i due metodi principali per il calcolo delle statistiche di ripetibilità e riproducibilità, ovvero il metodo “average and range” e il metodo “ANOVA”, con particolare enfasi su quest’ultimo. Proprio con questo metodo è stato svolto un esempio pratico con l’ausilio del software Weibull++.

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