MTBF o MCF ~ Reliability.it

MTBF o MCF

Saggiare la qualità degli strumenti di misurazione con il Gage R&R

Distribuzioni di valori estremi

Degradazione moltiplicativa in ingegneria dell’affidabilità

Il Mean Time Between Failures (MTBF) e la Mean Cumulative Function (MCF) sono due indicatori utilizzati per analizzare l’affidabilità di sistemi complessi riparabili. Entrambi trovano applicazione negli strumenti della suite ReliaSoft, come Weibull++, RGA e BlockSim, che consentono di modellare sistemi riparabili e di estrarre indicatori affidabilistici a partire dai dati di campo.

Sebbene entrambe le grandezze possano essere ottenute dagli stessi applicativi, esse si basano su approcci profondamente differenti. Cambiano infatti le metodologie di calcolo, le ipotesi statistiche, i dati di input richiesti e, di conseguenza, le informazioni che possono essere ricavate. Comprendere tali differenze è fondamentale per scegliere l’indicatore più adatto all’analisi in esame.

MTBF: il parametro più noto

Il Mean Time Between Failures (MTBF) è probabilmente l’indicatore più conosciuto nell’ambito dell’ingegneria dell’affidabilità e della manutenzione. La sua popolarità deriva dalla semplicità di calcolo e dall’immediatezza della sua interpretazione: rappresenta infatti il tempo medio che intercorre tra due guasti consecutivi di un sistema riparabile.

Per questo motivo il MTBF è stato per molti anni ampiamente utilizzato nelle specifiche tecniche di apparecchiature ferroviarie, aerospaziali, militari e industriali.

Negli ultimi anni, tuttavia, il suo ruolo è stato ridimensionato. Il Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti (DoD), ad esempio, non considera più il MTBF come parametro sufficiente per descrivere l’affidabilità di un prodotto, raccomandandone l’utilizzo esclusivamente insieme ad altre metodologie, quali:

Reliability Growth Analysis;
Failure Mode and Effects Analysis (FMEA);
approcci di Physics of Failure e Physics-Based Reliability.

In questo contesto, il MTBF diventa un indicatore complementare inserito all’interno di un processo affidabilistico molto più articolato.

I limiti del MTBF

Dal punto di vista matematico, il MTBF è semplicemente il rapporto tra il tempo totale di funzionamento osservato e il numero di guasti verificatisi. Si tratta quindi di una media.

Proprio questa semplicità rappresenta anche il suo principale limite.

Una media, infatti, non fornisce alcuna informazione sull’evoluzione del comportamento del sistema nel tempo. Due prodotti possono avere lo stesso MTBF pur presentando comportamenti completamente differenti: uno potrebbe migliorare progressivamente grazie ad azioni correttive, mentre un altro potrebbe deteriorarsi a causa dell’invecchiamento dei componenti. Nell’esempio sotto, 4 sistemi dal comportanto alquanto diverso tra loro si eguagliano sia in ternini di MTBF che di disponiblità A(t). Da un punto di vista manutentivo, l’unica cosa che li accomuna sarebbe la manutenzione correttiva. Qualsiasi altra forma di manutenzione andrebbe rivista individualmente per ogni sistema.

Fig. 1 – MTBF di quattro sistemi dal comportamento completamente diverso tra loro ma identico MTBF e disponibilità

Inoltre, il MTBF viene spesso riportato nei database commerciali e nelle librerie di componenti come unico indicatore disponibile. Raramente vengono però forniti i dati grezzi dai quali esso è stato calcolato, rendendo impossibile verificare la validità delle ipotesi statistiche adottate.

Quando si dispone dei dati originali, il calcolo del MTBF dovrebbe rappresentare l’ultima delle analisi da effettuare, piuttosto che la prima. Prima di sintetizzare tutto in un singolo valore medio, è infatti opportuno analizzare la distribuzione dei guasti, verificare la presenza di trend temporali, distinguere tra mortalità infantile, vita utile e fenomeni di usura e valutare se le assunzioni necessarie all’utilizzo del MTBF siano realmente soddisfatte.

Utilizzato senza queste verifiche preliminari, il MTBF può fornire una rappresentazione fuorviante del reale comportamento affidabilistico del sistema.

MTBF e le sue varianti

Un ulteriore elemento di confusione è rappresentato dalle numerose varianti del parametro. L’acronimo mantiene generalmente le lettere iniziali MTB (Mean Time Between), mentre l’ultima parte cambia in funzione della tipologia di evento considerata. Tra le varianti più comuni si trovano:

MTBF (Mean Time Between Failures): tempo medio tra tutti i guasti;
MTBSAF (Mean Time Between Service Affecting Failures): tempo medio tra i guasti che impattano sul servizio;
MTBCF (Mean Time Between Critical Failures): tempo medio tra i guasti critici.

La scelta della definizione adottata può influenzare significativamente il valore ottenuto e deve quindi essere chiaramente specificata all’interno di qualsiasi analisi o specifica tecnica.

Questa apparente semplicità rende evidente come il MTBF, pur rimanendo un indicatore estremamente diffuso, non sia sempre lo strumento più adatto per descrivere l’affidabilità di un sistema riparabile. In molti casi, analisi basate sulla Mean Cumulative Function (MCF) consentono di ottenere una rappresentazione molto più completa dell’evoluzione del comportamento del prodotto nel tempo.

Ipotesi per l’applicazione del concetto di MTBF

Il Mean Time Between Failures (MTBF) viene spesso presentato come uno degli indicatori più semplici da calcolare. È infatti sufficiente dividere il tempo totale di funzionamento di un insieme di prodotti per il numero di guasti osservati, ovvero:

MTBF

La semplicità della formula ha contribuito alla sua enorme diffusione nell’ingegneria dell’affidabilità. Tuttavia, questa apparente immediatezza ha spesso portato a un utilizzo indiscriminato del parametro, trascurando il fatto che il MTBF è valido solo se vengono soddisfatte precise ipotesi statistiche e operative.

Nella pratica industriale tali ipotesi sono frequentemente violate, rendendo il valore ottenuto poco rappresentativo del reale comportamento del sistema. Quanto segue sono 11 ipotesi che devono essere verificate al fine di applicare la formula sopra riportata.

Il sistema deve essere riparabile

Il MTBF è definito esclusivamente per prodotti riparabili. Dopo ogni guasto il sistema deve poter essere riportato in condizioni operative mediante un intervento di manutenzione o sostituzione.

Per prodotti non riparabili l’indicatore corretto è invece il Mean Time To Failure (MTTF).

Il tasso di guasto deve essere costante

Una delle ipotesi fondamentali è che il tasso di guasto rimanga costante nel tempo.

In altre parole, la probabilità che il sistema si guasti nel prossimo intervallo di tempo deve essere indipendente dalla sua età operativa. Questa proprietà prende il nome di assenza di memoria (memoryless property).

L’ipotesi è generalmente valida soltanto durante la fase di vita utile della curva a vasca (bathtub curve), mentre risulta violata nelle fasi di mortalità infantile e di usura.

I guasti devono essere indipendenti

Ogni guasto deve costituire un evento indipendente dai precedenti.

L’occorrenza di un guasto non deve aumentare né diminuire la probabilità che se ne verifichi un altro. Se invece esistono fenomeni di degrado progressivo, danni residui o effetti a catena, questa ipotesi non è più soddisfatta.

I tempi tra i guasti devono seguire una distribuzione esponenziale

L’ipotesi del tasso di guasto costante implica che gli intervalli tra due guasti consecutivi siano descritti da una distribuzione esponenziale.

Questa distribuzione rappresenta il fondamento matematico del MTBF classico ed è il motivo per cui il parametro non è applicabile a tutti i sistemi.

Tutti i guasti devono appartenere alla stessa popolazione statistica

I dati utilizzati per il calcolo devono provenire da una popolazione omogenea.

È corretto, ad esempio, analizzare:

pompe identiche;
installate nello stesso ambiente;
soggette agli stessi carichi;
utilizzate con identico duty cycle.

In questo caso è ragionevole assumere che tutti i guasti siano generati dallo stesso processo statistico.

Al contrario, non è corretto raggruppare indiscriminatamente guasti completamente differenti, ad esempio:

guasti elettronici;
cedimenti dei cuscinetti;
perdite delle tenute;
rotture meccaniche.

Ognuna di queste modalità di guasto possiede infatti meccanismi fisici e distribuzioni statistiche differenti. Calcolare un unico MTBF significa mescolare fenomeni non confrontabili.

Rinnovamento del sistema

Il MTBF assume inoltre che, dopo ogni riparazione, il sistema inizi un nuovo ciclo operativo statisticamente identico al precedente.

Questa condizione, nota come processo di rinnovamento, è una delle ipotesi più frequentemente violate nella pratica industriale.

Le riparazioni devono ripristinare il sistema secondo il modello adottato

Il modo in cui viene modellata la riparazione influenza direttamente la validità del MTBF.

Nel caso classico si assume una riparazione As Good As New, nella quale il sistema, dopo l’intervento manutentivo, torna nelle stesse condizioni di un prodotto nuovo. Questa è l’ipotesi utilizzata dal calcolo tradizionale del MTBF e dalle simulazioni di BlockSim.

Nella realtà, tuttavia, molte riparazioni sono di tipo As Bad As Old oppure producono un miglioramento solo parziale (imperfect repair). Il sistema continua quindi ad accumulare degrado e il tasso di guasto evolve nel tempo.

Queste situazioni possono essere modellate mediante strumenti come Weibull++ e RGA, ma non soddisfano le ipotesi del MTBF tradizionale.

Le condizioni operative devono rimanere costanti

Anche l’ambiente operativo deve rimanere sostanzialmente invariato.

Devono quindi essere comparabili:

carico applicato;
temperatura;
stress ambientali;
duty cycle;
pratiche manutentive;
modalità di utilizzo.

Variazioni significative di uno o più di questi fattori modificano inevitabilmente il comportamento affidabilistico del sistema.

Il concetto di guasto deve essere univoco

È essenziale definire con precisione cosa venga considerato un guasto.

Fenomeni quali:

degrado delle prestazioni;
perdita di efficienza;
guasti parziali;
anomalie intermittenti;

non sono necessariamente equivalenti a un guasto completo e possono richiedere metodologie di analisi differenti.

Una definizione poco rigorosa del guasto introduce inevitabilmente errori nel calcolo del MTBF.

I dati devono essere rappresentativi

Il valore ottenuto è tanto affidabile quanto lo sono i dati utilizzati.

Il campione deve essere sufficientemente numeroso e rappresentativo delle reali condizioni operative del parco installato.

In particolare, stime ottenute da un numero molto limitato di eventi (ad esempio meno di dieci guasti) presentano intervalli di confidenza estremamente ampi e devono essere considerate esclusivamente come indicazioni preliminari.

Il tempo di riparazione non rientra nel MTBF

Infine, il MTBF considera esclusivamente il tempo di funzionamento tra due guasti consecutivi.

I tempi di fermo macchina necessari per la riparazione vengono esclusi dal calcolo.

Quando il tempo richiesto per ripristinare il sistema diventa significativo, il MTBF non è più sufficiente per descrivere le prestazioni complessive del sistema. In questi casi è necessario introdurre indicatori di disponibilità (Availability), che combinano il MTBF con il Mean Time To Repair (MTTR) per quantificare il reale tempo durante il quale il sistema è effettivamente disponibile per il servizio.

Fig. 2 – Proiezione dei guasti a tre apparecchiature complesse con diverse tipologie di guasto

Dei tre sistemi analizzati a fianco (Fig. 2), solo il secondo presenta un tasso di guasto pressoché costante, soddisfacendo quindi una delle ipotesi fondamentali richieste per l’applicazione del MTBF. Il primo e il terzo sistema, invece, mostrano un’evoluzione del tasso di guasto incompatibile con il modello esponenziale: nel primo caso si osserva una diminuzione dei guasti nel tempo (mortalità infantile), mentre nel terzo il tasso di guasto aumenta progressivamente a causa dell’usura dei componenti.

Un ulteriore aspetto, spesso trascurato, riguarda il multicensoring, ovvero la presenza di sistemi osservati per tempi operativi differenti.

Nella maggior parte delle applicazioni reali, infatti, i prodotti non vengono installati tutti nello stesso momento. Alcune sistemi possono essere stati commissionati recentemente e trovarsi ancora nella fase iniziale di operatività con le problematiche che ne derivano. Altri, possono aver già accumulato migliaia di ore di funzionamento ed essere prossime alla fase di usura.

Queste informazioni rappresentano un elemento fondamentale dell’analisi affidabilistica e devono influire i risultati, poiché ogni unità contribuisce al dataset con un diverso tempo di esposizione al rischio di guasto. Tuttavia, il calcolo tradizionale del MTBF non tiene conto di questo fenomeno e riduce l’intera popolazione a un semplice rapporto tra ore complessive di funzionamento e numero totale di guasti, perdendo così informazioni importanti sull’evoluzione del processo di guasto.

Nell’esempio presentato in Fig. 2, il System 1 cessa di operare poco prima di 3200 ore di funzionamento e dopo tale valore il suo effetto sul sistema deve risultare nullo.

Le conseguenze possono essere significative.

Se dovessiso scattare un’istantanea a 1600 ore non conoscendo quello che è realmente accaduto, registreremmo 7 guasti (Fig. 2), per un valore di MTBF di 1600/7=228 ore. Sulla base di questo valore iniziale potremmo poi prevedere a 3200 ore circa 14 guasti.

L’osservazione reale mostra invece un comportamento alquanto diverso: a 3200 ore i guasti registrati sono solamente 9, corrispondenti a un MTBF di 3200/9=355 ore.

Il valore di MTBF varia notevolmente sinonimo di un sistema in evoluzione e non stazionario. Come tale, l’applicazione classica del calcolo MTBF è incoerente con le ipotesi su cui si appoggia.

Fig. 3 – Proiezione MCF di tre sistemi non omogenei

Il metodo MCF ed i suoi vantaggi

L’errore deriva dall’ipotesi, implicita nel MTBF, che il processo di guasto sia stazionario. Quando il tasso di guasto evolve nel tempo, come avviene frequentemente nei sistemi reali, il semplice valore medio perde capacità descrittiva e può condurre a previsioni significativamente errate.

È proprio in questi contesti che metodologie come la Mean Cumulative Function (MCF) risultano più efficaci, poiché descrivono direttamente l’evoluzione cumulativa dei guasti senza richiedere l’ipotesi di un tasso di guasto costante e quindi senza richiedere un modello specifico.

Evoluzione nel tempo

A differenza del MTBF, che sintetizza il comportamento del sistema in un unico valore medio, la MCF permette di osservare come i guasti si accumulino durante l’intera vita operativa del prodotto tenendo conto, nel suo progressivo, di quanti sistemi influiscano nell’analisi.

L’interpretazione della curva è particolarmente intuitiva. Con riferimento alla Fig. 3 sopra, ad un valore di 1600 ore si ha una media cumulativa di guasti M(1600)=2,33

Tale valore indica che, dopo 1600 ore di funzionamento, ciascun sistema ha accumulato mediamente 2,33 guasti.

Questo rende la MCF uno strumento estremamente informativo, poiché fornisce direttamente il numero atteso di interventi manutentivi nel tempo, informazione di immediata utilità sia per il progettista sia per il responsabile della manutenzione.

Oltre al valore numerico, è soprattutto l’andamento della curva MCF a fornire indicazioni sul comportamento affidabilistico del sistema e sull’efficacia delle riparazioni.

Come si evince dalla Fig. 3, è possibile distinguere tre zone caratteristiche.

Sezione A – Mortalità infantile

Nella prima parte della curva (A) si osserva una rapida successione di guasti, evidenziata da una pendenza elevata. Questo comportamento è tipico della mortalità infantile, nella quale i difetti di fabbricazione, assemblaggio o installazione provocano un’elevata frequenza di guasti nelle prime fasi di esercizio.

Sezione B – Vita utile

Nella zona centrale (B) la curva assume un andamento pressoché lineare con una pendenza molto più contenuta.

I guasti risultano distribuiti in maniera quasi uniforme nel tempo e il sistema opera nella propria vita utile, caratterizzata da guasti casuali. In questa fase il comportamento è compatibile con un processo di Poisson omogeneo, ovvero con un tasso di guasto pressoché costante.

È proprio questa la regione nella quale il MTBF può rappresentare una descrizione ragionevole del sistema.

Sezione C – Usura

Nella parte finale (C) la pendenza torna ad aumentare. L’accelerazione nell’accumulo dei guasti indica l’ingresso nella fase di usura, durante la quale il deterioramento dei componenti determina un incremento progressivo del tasso di guasto.

Questa evoluzione, facilmente riconoscibile osservando la curva MCF, non sarebbe invece evidenziata dal solo valore del MTBF.

Fig. 4 – Proiezione cumulativa dei guasti delle single popolazioni rapportata alla proiezione totale MCF dei tre sistemi.

Un metodo non parametrico

Uno dei maggiori vantaggi della MCF è la sua natura non parametrica.

L’analisi non richiede infatti di assumere che i dati seguano una particolare distribuzione statistica, come la Weibull, l’esponenziale o un processo di Poisson. Di conseguenza, non è necessario verificare la lunga serie di ipotesi richieste per il calcolo del MTBF.

La MCF descrive direttamente ciò che emerge dai dati sperimentali, lasciando che sia il comportamento osservato a definire l’andamento della curva. E’ chiaro che, essendo un modello non parametrico non consente un’estrapolazione dei risultati oltre i dati analizzati.

Combinazione di guasti

Il modello, di natura non parametrica e permette inoltre di combinare guasti di natura diversa tra loro come guasti a sistemi elettronici o componenti meccaniche superando tutta una serie di limitazioni collegate al calcolo MTBF.

Gestione naturale dei dati censurati

Un ulteriore punto di forza è la capacità di gestire in modo naturale il multicensoring e, più in generale, i dati censurati.

Nelle applicazioni reali, infatti, non tutti i sistemi vengono osservati per lo stesso periodo. Alcune unità possono essere ancora operative al termine dello studio, altre possono essere dismesse, sostituite o semplicemente uscire dal periodo di osservazione.

La MCF tiene automaticamente conto del numero variabile di sistemi ancora sotto osservazione in ogni istante. Anche le unità censurate contribuiscono all’analisi fino al momento in cui cessano di essere monitorate, consentendo di utilizzare efficacemente tutte le informazioni disponibili senza introdurre distorsioni.

Confronto tra popolazioni e strategie manutentive

Il valore ottenuto dal calcolo MCF è una media cumulativa di N sistemi. Il valore di MCF(1600)=2.33 è un valore utile ma come la curva della vasca da bagno (Fig. 3) suggerisce, ci possono essere variazioni di interesse tra i sistemi che lo hanno generato.

Con riferimento alla Fig. 4, il (System 1) presenta un comportamento anomalo ben al di fuori della media cumulativa (Sample MCF) indicando possibili problemi relativamente a

componenti provenienti da fornitori differenti;
diverse politiche di manutenzione;
differenti revisioni progettuali;
condizioni operative diverse…

Tuttavia il suo effetto sulla curva globle (Sample MCF) è limitato dal suo tempo effettivo di osservaizone. Il confronto delle curve consente di individuare immediatamente quale popolazione accumuli i guasti più rapidamente e di evidenziare eventuali comportamenti ritenuti anomali. Analogamente, è possibile valutare l’efficacia di una modifica progettuale o di una diversa strategia manutentiva osservando se la pendenza della curva diminuisce nel tempo.

Proprio questa capacità di descrivere l’evoluzione del fenomeno, anziché limitarne la sintesi in un unico valore medio, rende la Mean Cumulative Function uno degli strumenti più potenti per l’analisi dei sistemi riparabili e una valida alternativa al tradizionale MTBF quando si dispone di dati di guasto.

Il MTBF rimane un indicatore semplice, intuitivo e ampiamente utilizzato, ma la sua validità dipende dal rispetto simultaneo di numerose ipotesi statistiche e operative. Nella maggior parte dei sistemi reali tali condizioni risultano solo parzialmente soddisfatte, motivo per cui il MTBF dovrebbe essere considerato un indicatore sintetico e non una misura esaustiva dell’affidabilità.

Quando si dispone dei dati di campo, metodologie quali la Mean Cumulative Function (MCF) sia in forma non parametrica che Non-Homogeneous Poisson Process (NHPP) in form parametrica consentono spesso di descrivere in maniera molto più accurata l’evoluzione dell’affidabilità nel tempo, senza imporre molte delle restrizioni richieste dal MTBF.

Risorse a disposizione

I software Weibull++ e BlockSim rappresentano gli strumenti chiave per analizzare un sistema complesso riparabile (analisi RAM). Essi forniscono all’analista tutto quello che serve per analizzare il sistema sia a livello molto dettagliato tramite l’analsi RBD (Reliability Block Diagram) che a un livello molto più sintetico. Questo seconodo approccio è stato presentato in questo articolo mettendo a confronto la metdologia non parametrica MCF con il metodo di calcolo del MTBF.

All’interno di Weibull++ esiste inoltre un’altra metodologia per l’analisi di sistemi complessi riparabili con un metodo parametrico attraverso attraverso una variante del modello NHPP per tener conto dell’effetto della riparazione sulla vita del sistema. Tale modello prende il nome di General Renewal Process o GRP. Infine un modello Power Law è presente in nel software RGA per esaminare problemi per i quali si può iptizzare un effetto di riparazione minima semplicemente ripristinando il sistema senza alcun beneficio in termini di affidabilità.