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Questo articolo introduce la metodologia DOE applicata ad analisi di durata delle componenti. Tale metodologia denonimnata Reliability DOE o DOE affidabilistico rappresenta uno sviluppo del DOE classico.

Il DOE o Design of Experiment è un approccio sistematico per pianificare, condurre ed analizzare esperimenti. L’obiettivo del DOE è di analizzare e cercare di trovare la relazione tra diverse variabili di ingresso denominati fattori e le variabili di uscita denominate risposte.

Ogni fattore può essere definito attraverso una variabile numerica (esempio 10, 60) o indicativa (esempio alto, basso) e deve avere almeno due livelli distinti. L’obiettivo è stabilire se e come la variazione dei livelli dei fattori di ingresso influiscano sulla risposta misurata in uscita.

Il risultato è un piano di test da condurre in un ordine definito al fine di facilitare la scoperta di questa relazione causa-effetto tra fattori di input e variabile di risposta in uscita.

L’applicazione del DOE non ha confini. Dal campo biomedico e farmaceutico e chimico, al campo industriale sia nello sviluppo di nuovi prodotti che nell’ottimizzazione del loro processo produttivo. In breve, l’applicazione delle tecniche del DOE è limitata solo dalla fantasia umana. Nonostante ciò, e nonostante sia una tecnica che affonda le sue radici nel lontano secolo scorso, per quanto concerne la nostra esperienza, è ancora largamente poco utilizzato e non sfruttato per il suo vero potenziale.

DOE classico

Con riferimento alla Fig. 1, si ipotizzi di voler studiare la miglior configurazione dell’aeroplano di carta. Questi, al fine di ottenerne la durata maggiore del volo o distanza percorsa. Questi due elementi rappresentano l’obiettivo del nostro studio e sono le risposte dell’esperimento o del piano di test. Cioè l’output.

  • la distanza percorsa dalla posizione di lancio e/o
  • il numero di secondi l’aeroplano rimane sospeso dal suolo.

Come variabile di ingresso (input) da sintonizzare al fine di ottenere il miglior risultato si potrebbe esplorare

  • la piegatura delle ali,
  • la costruzione di una coda,
  • l’uso di una carta diversa…

Attraverso un programma DOE dedicato come Weibull++ si costruisce un piano di test o di lianci da effettuare con le combinazioni di fattori assegnate in modo randomico dal programma. Esistono diversi piani di test che consentono di testare tutte le possibli combinazioni di fattori. Altri, sono più sentitici e testano solo un determinato numero di combinazioni ma il loro obiettivo è diverso.

Ogni lancio dell’aeroplano genera risultati di durata del volo e distanza coperta, diversa; anche con il medesimo settaggio. Il che pone la domanda, perchè si dovrebbero eseguire più lanci con lo stesso settagggio? Non è forse uno spreco economico?.

Lo scopo di eseguire più prove in un esperimento è aumentare l’affidabilità del risultato ottenuto. Ripetendo l’esperimento più volte, è possibile calcolare la media di eventuali variazioni o errori casuali in una prova, ottenendo un quadro generale più accurato del fenomeno studiato. Inoltre, eseguendo più prove, è possibile migliorare le predizioni e calcolare statistiche come la media, la deviazione standard e gli intervalli di confidenza, che forniscono una migliore comprensione dei dati e di come sono distribuiti.

Le variabili di input o Fattori che si intende studiare, sono di due tipologie:

Variabile of fattore qualitativo – non riportano un valore numerico ma semplicemente rappresentano una configurazione. Per esempio, la piegatura delle ali rivolte verso l’alto in configurazione 1 e le ali non piegate in configurazione 2.

Variabile o fattore quantitativo – in questo caso gioca un ruolo fondamentale il valore numerico associato. Per esempio, piegatura delle ali rivolta verso l’alto di 15° configurazione 1 e piegatura di 30° per configurazione 2. Oppure la grammatura della carta da 70gr/$m^{2}$ o da 80gr/$m^{2}$

La configurazione quantitativa offre il vantaggio di poter poi eseguire predizioni della risposta sulla base del settaggio che si desidera esplorare. Per esempio, risultato con piegatura a 20°.

Oltre a questi parametri di ingresso, purtroppo esistono anche elementi di disturbo o rumore che “inquinano” il risultato della variabile di uscita. Queste interferenze non possono essere ignorate.

Nel caso dell’aeroplano lanciato, il vento che anche a livello poco percettibile influenza in maniera significativa i risultati in termini di durata del volo e/o distanza percorsa. Oltre al vento anche la temperatura, umidità dell’aria, pressione atmosferica…

Esistono tecniche di disegno robusto volte a supportare la creazione di un prodotto/processo che risulti il più possibile insensibile a queste variabili di rumore. Queste tecniche sono supportate dal programma Weibull++ ma non rientrano nel contesto di quest’articolo.

Fig. 1: Processo DOE

Fig. 1: Processo DOE

L’esempio sopra descritto rappresenta una tipologia di DOE indicato come classico dove la/le risposta/e potrebbero seguire un andamento gaussiano ma i residui devono avere un andamento normale.

Quest’articolo si concentra su un DOE particolare che prende il nome di DOE affidabilistico o Reliability DOE. Tale metodologia, sebbene mantenga similarità al DOE classico nell’impostazione del problema, si differenzia nei dati raccolti come parametro di output. La risposta infatti e una durata temporale prima che il prodotto esaminato fallisca. In altre parole, un tempo al guasto.  Naturalmente, associato ad un tempo al guasto ci sono due aspetti che influenzano la risposta generata:

  • l’impiego di funzioni asimmetriche più idonee alla caratterizzazione della risposta dell’esperimento o della varibile di uscita. In questo caso si sostituisce un modello gaussiano con un modello Weibull2P (Weibull a 2 Parametri), Lognormale o Esponenziale.
  • La possibilità di fermare la sperimentazione con unità ancora funzionanti, cioè il gestire dati risultanti dall’esperimento che contengono sospensioni destre o addirittura dati intervallari. Questo non solo permette di accorciare la durata delle prove ma anche di analizzarle con modelli più idonei all’analisi di dati di tempo al guasto.

Randomicità di un esperimento

Affinchè la serie di esperimenti pianificati (DOE) abbiano successo, è fondamentale che i campioni da testare e gli esperimenti da condurre siano selezionati randomicamente. Questo, al fine di evitare l’influenza di variabili incontrollate come l’usura degli strumenti, la temperatura ambientale e le variazioni nelle materie prime. Questi cambiamenti, che spesso sono legati al tempo, possono influenzare significativamente la risposta. Il processo di randomizzazione delle prove, aiuta a prevenire l’effetto incontrollato dei fenomeni sopra descritti.

Per ogni prova, a seconda delle variabili messe in discussione, ci saranno combinazioni diversi di fattori. Se l’esperimento rientra in un piano fattoriale completo o Full Factorial, tutte le possibili combinazioni saranno testate. In caso contrario, solo una parte di esse.

La scelta del piano di valutazione con il numero di fattori da testare ed il numero di prove da eseguire per una serie di prove a due livelli viene stabilito esaminando la tabella sotto.

Le celle in blu rappresentano un piano fattoriale completo. Per esermpio, $2^{3}$ esplica un piano di test a 2 livelli (es. High, Low) impiegante 3 fattori. Tale piano considera tutte le possibili combinazioni di fattori (LLL, HLL LHL, HHL, LLH, HLH, LHH, HHH). I desegni o piani a destra delle celle blu rappresentano piani frazionati secondo criteri diversi. Alcuni di questi piani sono di prima valutazione o screening e sono molto potenti (es. $2^{7-4}$ dove con 8 prove si testano 7 fattori o $2^{9-5}$) dove con 16 prove si testano 9 fattori.

Più generalmente piani del III livello o “Resolution III Design” dove la parola più breve è formata da 3 lettere. In questa configurazione non avviene alcun mascheramento degli effetti principali con altri effetti principali. Tuttavia, ma gli effetti principali sono mascherati con interazioni a 2-fattori. Per questo deveno essere usati con molta cautela. Altri piani sono rivolti ad indagini più approfondite una volta identificati i fattori principali. Naturalmente tutto deve rientrare in un budget originalmente impostato.

Fig. 2: Tabella fattori e prove per due livelli

Fig. 2: Tabella fattori e prove per due livelli

Una volta scelto il piano fattoriale da impostare, la distribuzione dei fattori sarà in base allo schema di mascheramenteo che più si addice alle interazioni delle variabili di input.  Per una trattazione più estesa dell’argomento e la scelta di un piano fattoriale rispetto ad un altro, vedasi workshop WKS04; Design of Experiment

Esempio 1 – DOE affidabilistico per batterie al litio

In questo esempio pureamente illustrativo si vuole considerare la durata di diverse tipologie di batterie in funzione delle temperature di funzionamento. Tre diverse tecnologie sono messe a confronto. I dati analizzati non includono censure o sospensioni.

  • Batterie Lithium Cobalt Oxide (LiCoO2): queste sono tra le più comuni batterie agli ioni di litio e sono costituite da un catodo di ossido di cobalto di litio, un anodo di grafite e un elettrolita liquido. Le batterie LiCoO2 forniscono un’elevata densità di energia e sono ampiamente utilizzate nell’elettronica di consumo come smartphone, laptop e fotocamere digitali.
  • Batterie al Litio Ferro Fosfato (LiFePO4): le batterie LiFePO4 hanno un catodo al litio ferro fosfato, un anodo di grafite e un elettrolita solido. Sono note per la loro eccellente stabilità termica, il lungo ciclo di vita e la maggiore sicurezza rispetto ad altri tipi di batterie agli ioni di litio. Tali batterie sono comunemente utilizzate nei veicoli elettrici negli utensili elettrici e nei sistemi di accumulo di energia rinnovabile.
  • La terza categoria batterie al Litio Nichel Manganese Ossido di Cobalto (LiNiMnCoO2) sono un tipo versatile di batterie agli ioni di litio che combina nichel, manganese e cobalto nel materiale del catodo. Offrono un equilibrio tra densità di energia, capacità di potenza ed economicità. Anche queste batterie sono ampiamente utilizzate nei veicoli elettrici, nei sistemi di accumulo dell’energia di rete e nei dispositivi elettronici portatili.
Fig. 3: Impostazione del problema nell'interfaccia Reliability DOE in Weibull++

Fig. 3: Impostazione del problema nell’interfaccia Reliability DOE in Weibull++

General Full Factorial

L’esercizio viene impostato come General Full Factorial con configurazione $3^{2}$ avente cioè 2 livelli di temperatura e 3 diverse tecnologie riguardanti le batterie.

Un disegno fattoriale completo generale (General Full Factorial) è un disegno sperimentale che consente di studiare gli effetti di più fattori su una variabile di risposta. Ogni fattore ha più livelli e poichè è classificato come “Full Factorial”, vengono testate tutte le possibili combinazioni di livelli. Questo tipo di disegno è utile per identificare gli effetti principali di ciascun fattore, nonché le eventuali interazioni tra i fattori.

In questo esercizio, sono inoltre presenti 4 repliche di ogni esperimento così da ben caratterizzare il comportamento della risposta (durata della batteria nelle diverse condizioni) e per stimare con maggiore precisione l’errore puro e le stime dei parametri in modo più accurato.  L’aggiunta di repliche in un progetto consente di ridurre la previsione della varianza e la varianza delle stime dei parametri nel modello.

In totale, il DOE consiste di 3 × 2 × 4 = 36 prove

Lo scopo della replica in un DOE è di ridurre la variabilità casuale o il rumore del risultato ottenuto. Conducendo più repliche di un esperimento, si ottiene una migliore analisi statistica data dai più punti disponibili migliorando la caratterizzazione della risposta. I dati registrati sono tempi al guasto senza la presenza di dati censurati.

Fig. 4: Settaggio di analisi del R-DOE

Fig. 4: Settaggio di analisi del R-DOE

Risultati del DOE batterie

Quanto illustrato in Fig. 3 , è un esempio di DOE a due fattori ciascuno dei quali definito da 3 diversi livelli. In particolare:

  • tipologia di batteria (3 livelli di tipo Qualitativo)
  • temperatura in °K (3 livelli di tipo Quantitativo)

Come si può vedere è possibile combinare diverse tipologie di dato all’interno dello stesso esperimento.

Il risultato dell’esperimento è il tempo al guasto (colonna centrale Time Failed, Fig. 3) per ogni combinazione di fattori. Si noti come evidenziato in Fig. 4 come la funzione utilizzata per l’analisi della risposta sia la funzione Weibull a 2 parametri.

L’esercizio delinea tre fattori significativi quali la temperatura [A], la batteria LiCoO2 [B1] e l’interazione tra la temperatura e la batteria LiNiMnCoO2 [A*B2]. Questi oltre ad essere evidenziati in rosso nelle figure 4 e 5, sono anche visibili nel primo grafico Pareto.

Fig. 5: Tabulazione dei risultati con metodo di massima verosimiglianza (MLE) per calcolo dei fattori significativi e dei loro coefficienti.

Fig. 5: Tabulazione dei risultati con metodo di massima verosimiglianza (MLE) per calcolo dei fattori significativi e dei loro coefficienti.

Il secondo grafico evidenzia la matrice di interazione tra le diverse tipologie di batterie e la temperatura. Si può notare come per esempio la batteria al Litio LiNiMnCoO2 manifesti il calo maggiore all’aumento della temperatura (linea verde) rispetto ad esempio alla batteria LiFePO4 (linea blu). Lo stesso comportamento è altrettanto evidenziato nel secondo riquadro dove la batteria LiFePO4 presenta una perdita di Ln(η) da 5.05 a 300°K a 4.87 a 383°K.

Il terzo grafico infine “Term Effect Plot” mette in evidenza il calo rapido di durata di tutte le tipologie di batteria con l’aumentare della temperatura (primo riquadro). Nel secondo riquadro, si evidenzia la risposta di ogni batteria tenendo conto dei risultati ottenuti alle diverse temperature. Si può notare come la batteria LiFePO4 sia la miglior performante presentando una vita più prolungata rispetto alle due altre tipologie di batterie.

Nel terzo riquadro infine, viene analizzata l’interazione tra la temperatura e la tipologia di batteria per tutte le 9 combinazioni $3^{2}$ prendendo una media della 4 valutazioni. Il grafico mostra un andamento altalenante a seconda della combianzione di temperatura e tipologia di batteria. Per meglio interpretare il grafico bisogna fare riferimento alla Fig. 6 che illustra le 9 combinazioni base riprodotte 4 volte per ottenere risultati più rappresentativi.

Fig. 6: Configurazione base

Fig. 6: Configurazione base

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Esempio 2 – DOE affidabilistico per filtro auto

In questo secondo esempio di tipo accademico si vuole evidenziare il fatto di come si possa combinare in una sola analisi sia elementi del DOE classico con quelli del DOE affidabilistico attraverso due tipologie di risposte. Nell’esempio che segue relativamente ad un filtro di auto, tre delle cinque variabili catturate sono di tipo qualitativo,

  • Tipologia di filtro (Paper – Synthetic)
  • Stile di guida (GranPa – Petrolhead)
  • Chiusura dell’involucro del filtro (Plastic Clip – Screwtight)

mentre le altre due sono di tipo quantitativo

  • Il cambio d’olio in km (40000 – 50000)
  • Lo spessore del materiale filtrante in mm (0.35 – 0.5)

Le risposte sono due e rispettivamente di due tipologie:

  • variazione della perdita di pressione. Risposta di tipo “standard” e
  • durata del filtro in km percorsi prima della sostituzione. Risposta di tipo “life data”.
Fig. 7: Settaggio del DOE Filtro Auto

Fig. 7: Settaggio del DOE Filtro Auto

Poichè il piano fattoriale adottato è un piano fattoriale frazionario denominato “half fraction”, solo metà delle possibili prove vengono eseguite: $2^{5}$/2=16 prove. Tuttavia l’impostazione di 2 repliche per prova porta il numero totale delle prove per completare l’esperimento a 36.

Lo scopo del DOE è di determinare un modello matematico che possa correlare le risposte ai fattori sperimentali in modo da poter formulare previsioni del valore della risposta per una qualsiasi combinazione di fattori. Tale previsione vale soprattutto per quei livelli (valori quantitativi) per i quali non si sono raccolti risultati.

Le potenzialità del DOE sono in primis la determinazione delle variabili che maggiormente influenzano le risposte. In secondo luogo l’individuazione delle variabili controllabili in modo da permettere un’interazione correlata con la risposta dell’esperimento. Infine, la quantificazione dell’influenza delle variabili controllabili sulla risposta finale per favorire la creazione del modello matematico.

Fig. 8: Impostazione e risultati della risposta

Fig. 8: Impostazione e risultati della risposta “Filter Clogged” tipologia life data

Risultati del DOE e modello matematico

Dall’analisi condotta, risulta che il kilometraggio percorso prima che il filtro aria sia da sostituire dipende sia dallo stile di guida impostato: variabile B (sportivo o tranquillo) e dall’interazione tra le variabili A: tipologia di filtro (sintetico o carta) e B (stile di guida). Di conseguenza, anche se la variabile A non risulta di per sè significativa, essendo significativa la sua interazione con B, deve essere inclusa nel modello matematico finale. Per concludere, di questo esercizio impostato con 5 fattori, solo due risulteranno significativi:

  • Il fattore A (tipologia di filtro) ed
  • il fattore B (stile di guida) e l’interazione tra A e B

L’equazione finale (base per future predizioni) della durata del filtro in funzione dei due fattori significati è illustrata sotto.

Fig. 9: Coefficienti dei parametri dell'esperimento

Fig. 9: Coefficienti dei parametri dell’esperimento

Conclusione

In questo breve articolo introduttivo abbiamo presentato una tipologia di DOE sviluppato dalla ReliaSoft Corporation per il programma Weibull++. Questa interfaccia unisce le potenzialità della metodologia DOE per proiettare l’analisi in un contesto di pura analisi dei dati. Il DOE affidabilistico o Reliability DOE è uno strumento fondamentale di input al test accelerato. Esso permette infatti di scremare le numerose variabili che potrebbero condizionare la vita di un prodotto evidenziando solo quelle che dovranno essere successivamente modellate in un piano di test accelerati.

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