MTBF o MCF

Saggiare la qualità degli strumenti di misurazione con il Gage R&R

Distribuzioni di valori estremi

Degradazione moltiplicativa in ingegneria dell’affidabilità

Introduzione all’analisi dei guasti

L’analisi dei dati di vita utile (Reliability Life Data Analysis o più comunemente Weibull Analysis) si riferisce allo studio e modellazione dei dati di vita del prodotto osservato. Con il termine “dati di vita” si intende una particolare grandezza fisica che caratterizza la vita utile di un determinato prodotto. Ad esempio, i dati di vita possono essere misurati in:

Ore di funzionamento (Run Hours)
Chilometri percorsi
Cicli di funzionamento e/o cicli al guasto
Stress ciclici meccanici
Stress ciclici termici
Pagine stampate …

Quando viene eseguita un’analisi dei dati di vita utile, l’analista potrebbe cercar di trovare una risposta alle seguenti domande:

Qual è la probabilità di funzionamento o guasto del prodotto con l’età attuale?
Qual è la probabilità di funzionamento o guasto del prodotto nel prossimo intervallo di tempo sulla base dell’età attuale accumulata?
Qual è la vita media del prodotto o la vita media rimanente?
Si evidenziano lotti con componenti difettose sulla base di dati raccolti?
Si evidenziano modalità di guasto con comportamenti diversi sulla base dei dati raccolti?
Si evidenziano allineamenti dei punti che suggeriscono t₀ o modelli lognormali come più appropriati?

L’analisi Weibull risponde a tutto questo ma le sue implicazioni non sono limitate all’analisi dei dati di vita. Essa infatti, ha forti risvolti anche nel testing, negli interventi di manutenzione e nel dimensionamento del magazzino riducendo i costi associati.

Applicazioni del modello Weibull

Dalla sua formulazione nel lontano 1937 alla sua presentazione al panorama scientifico internazionale 1951, il modello Weibull ha avuto importanti risvolti e applicazioni tanto da renderlo il modello più comunemente utilizzato in ingegneria dell’affidabilità. Il modello è particolarmente adatto ad analizzare una singola modalità di guasto anche se in realtà questo è spesso difficile da implementare. Le sue vaste applicazioni includono:

Analisi di una campionatura di dati di componenti che include sia guasti che funzionamenti
Proiezione di fallimenti futuri a partire da informazioni sui fallimenti passati.
Quantificazione e ottimizzazione del magazzino e politica di ricambi: quanti pezzi di ricambio, componenti o assiemi sarebbero necessari per sostituire i guasti. Questa proiezione includerebbe in genere il numero ottimale di pezzi di ricambio, i costi per la loro sostituzione, il tempo di sostituzione ottimale per anticipare guasti.
La stima del numero di parti o sistemi non conformi in una popolazione e basata sull’analisi campionaria.
La stima dei costi di garanzia basata sul test campionario.
La dimensione del campione e la lunghezza del test richiesto per dimostrare a un certo livello di confidenza, un requisito del cliente.
La dimensione del campione e la lunghezza del test richiesto per dimostrare a un certo livello di confidenza, che una modalità di guasto è stata risolta o correttamente gestita.
La modellazione e dimostrazione del tempo all’usura con suddivisione del modello in due parti: tempo all’usura e usura al guasto.
Pianificazione degli interventi di manutenzione al fine di evitare fermi alla produzione.
Valutazione di cambi di modalità di guasto o situazioni di deriva del prodotto o sistema.
Valutazione del tempo di rottura per diverse modalità di guasto.
Applicazione di procedure di controllo qualità per stimare unità difettose nella popolazione.
Analisi comparativa per dimostrare miglioramenti all’affidabilità rispetto a versioni precedenti.
Identificazione di t₀ negativi in lotti con paragone a dati esistenti.
Identificazione di t₀ positivi e verifica con fisica del guasto.
Comparazione con modello lognormale per allineamento punti ma soprattutto, fisica del guasto.
Supporto al testing con l’introduzione di dati storici (Weibull1P e Weibull-Bayesiana).
Stima del tempo minimo nel quale non si verificano guasti.
Analisi comparativa con diversi livelli di stress applicati.
…

Distribuzioni di Vita Utile (Lifetime distribution)

Il modello Weibull non è l’unico modello impiegato nell’analisi dei dati di sopravvivenza di un prodotto. Ingegneri, matematici e fisici hanno sviluppato nel tempo diversi modelli statistici e diversi metodi di calcolo e stima dei parametri al fine di meglio rappresentare fenomeni naturali non rappresentabili in modo deterministico.

Alla base del calcolo probabilistico di una grandezza variabile, sta la funzione di densità di probabilità (Probabilistic Density Function o PDF) che descrive una distribuzione probabilistica di eventi. Nel caso dell’analisi dei dati di vita, le funzioni più comunemente utilizzate in ambito affidabilistico sono:

Log-Normale
Weibull 2P

Altre distribuzioni ma meno utilizzate sono:

Esponenziale
Normale
Gamma
Gamma generalizzato
Gumbel
Mixed Weibull
….

Perchè eseguire un’analisi Weibull?

Waloddi Weibull formulò la distribuzione che prende apputo il suo nome nel 1937 e pubblicò i suoi risultati in uno studio presentato alla American Society of Mechanical Engineers (ASME) nel 1951dal titolo “A Statistical Distribution Function of Wide Applicability” – Vol. 18, Iss: 3, pp 293-297. In tale studio considerò il comportamento di eventi molto diversi tra loro quali:

Il punto di snervamento di acciaio prodotto da Bofors
Resistenza delle fibre del cotone indiano
Distribuzione delle dimensioni di particelle di fly ash derivato dalla combustione di carbone ed impiegato come additivo nel cemento
Dimensioni di semi di Phaseolus Vulgaris
Altezza di adulti maschi nati nelle isole britanniche…

per dimostrare la vasta applicabilità del modello formulato. Inizialmente accolta con scetticismo, fu riconsiderata negli anni successivi fino a diventare il modello di riferimento per analisi di affidabilità nei più svariati settori industriali. Essa, infatti, offre risultati realistici a fronte di un costo, in termini di campionatura e tempo (e quindi denaro), notevolemente inferiore rispetto ad altre distribuzioni e metodologie precedentemente utilizzate.

Dalla formulazione originale a tre parametri espressa in funzione della variabile x

con parametro m (β) o di forma, parametro x₀ (η) di scala e parametro x_u (γ) di traslazione, il modello di riferimento in ingegneria dell’affidabilità è la sua variante a due parametri. Conosciuta anche come Weibull2P, si ottiene ponendo il parametro di traslazione γ = 0. La funzione di densità di probabilità espressa nella variabile t, per due parametri è spesso rappresentata con le lettere greche invece del formato originale proposto.

Beta (β) rappresenta il parametro di forma o pendenza della funzione cumulativa su carta Weibull e si lega alla modalità di guasto del prodotto rappresentando mortalità infantile, guasto randomico e usura inziale, o usura avanzata. La differenza di comportamento di queste classi di funzionamento sta nel failure rate o tasso di guasto che esibiscono. Nella zona di mortalità infantile esso decresce, nella zona di vita utile rimane pressoché costante e nella zona di usura, aumenta.

Questi tre comportamenti uniti insieme e spesso riscontrabili in una popolazione delineano la cosiddetta “curva della vasca da bagno”

Matematicamente per mortalità infantile si definisce un prodotto il cui parametro di forma β è minore di 1 (β < 1). Da un punto di vista fisico, manifesta un tasso di guasto piuttosto elevato che va decrescendo associandola quindi a sistemi nuovi con qualche problema di produzione o che necessitano di rodaggio o training e familiarizzazione iniziale. La seconda zona, definita di vita utile è indicata da un β uguale a 1 o tasso di guasto costante (pendenza zero). Poiché questo rappresenterebbe un solo punto su un numero infinito di possibili punti, in realtà si considera una zona in cui il valore di oscilla intorno al valore 1. In questa zona il guasto è di tipo randomico ed è quindi impossibile fare manutenzione preventiva o sostituzione ottimale del componente. Ogni tentativo in questa direzione non porta a nessun beneficio economico ma solo ad uno spreco, vedasi RSW300: RAM for Asset Management

Con beta β>1, a seconda del valore stesso, si parlerà di zona di prima usura o zona di usura rapida. Questa zona è di normale funzionamento di qualsiasi componente maturo o sistema fisico (si pensi ad una macchina). A seconda dello stress applicato al nostro prodotto, il parametro β tende ad aumentare di valore. Per valori di β > 4 si inizierà a parlare di usura avanzata o rapida. Si noti però che questa definizione è arbitraria. In quest’ultima fase osserveremo un aumento repentino del numero di guasti del sistema.

Il parametro beta è un indice adimensionale che offre importanti indicazioni sul comportamento del prodotto analizzato. Di per sé non può essere migliorato ma al limite soppresso se si elimina tale modalità di guasto. Il secondo parametro eta (η), parametro di scala o vita caratteristica, ha la stessa unità di misura dei dati di guasto del prodotto considerato (ore, cicli, km, litri, pagine…) e rappresenta il punto a cui il 63.21% della popolazione muore. In altre parole, dove il singolo prodotto ha una probabilità di guasto $Q(t) = 1-e^{-1} = 63.21\%$.

Tale grandezza, può essere migliorata tanto che prodotti costruiti con diversi materiali (per esempio, diverse leghe) esibiranno diversi η, il più resistente dei quali avrà un η maggiore.

Se quindi i valori di beta sono una forte indicazione del comportamento del prodotto, i valori di eta offrono una visione di quanto durerà la campionatura nel test o sul campo.

Il punto di forza del modello Weibull sta nella sua

flessibilità ad analizzare con un solo modello prodotti che esibiscono comportamenti alquanto diversi tra loro.
Economicità nel richiedere pochi punti per offrire buone indicazioni sul comportamento del prodotto. Il numero reale dipende dall’incertezza che si è disposti ad accettare (vedasi corso RSW250).
Rappresentazione grafica estremamente informativa per evidenziare comportanti di interesse.
Facile interpretazione dei parametri del modello a differenza di altri modelli molto meno user friendly (vedasi gamma generalizzata) .

Nella seguente figura vengono riportate quattro curve rappresentati diverse funzioni di densità di probabilità Weibull per diverse tipologie di prodotti con a fianco, la loro rappresentazione del tasso di guasto.

Come si può vedere, un solo modello è in grado di rappresentare comportamenti alquanto distinti tra loro.

Guasti e sospensioni

L’analisi statistica dei dati consiste nel trasformare una campionatura di guasti in una distribuzione di densità di probabilità al fine di poter fare opportune previsioni di vita o guasto nel tempo. L’analisi, tuttavia, non si limita solo ai guasti ma in realtà abbraccia quattro tipologie di dato presenti in ingegneria dell’affidabilità. Esse sono:

Dato completo
Censura destra
Dato intervallare
Censura sinistra.

La prima tipologia è un dato di fatto, ossia un guasto osservato e segnalato. Le altre tre inseriscono la componente incertezza dovuta al fatto che il guasto o non si è ancora verificato, oppure non si hanno informazioni precise su quando si verificò. Per esempio, un guasto solamente rivelabile durante un’ispezione o sistemi di raccolta dati inadeguati a definire con precisione l’insorgere del guasto. Queste informazioni aggiuntive ai guasti, sebbene imprecise, sono molto importanti ad un calcolo dell’affidabilità del prodotto. Per esempio, in un’analisi di garanzia offrono un miglioramento riguardo la stima dei rientri. Per avere un’idea dell’effetto delle sospensioni sul risultato finale, si consiglia l’articolo L’importanza delle sospensioni nel calcolo affidabilistico

Il calcolo dell’affidabilità è un calcolo probabilistico e la valutazione dell’incertezza è fondamentale in questo tipo di analisi. Spesso si è chiamati ad offrire una stima della probabilità di guasto e del numero di probabili rientri sulla base di pochi guasti. Esistono anche analisi a zero guasti ma queste non sono trattate in questo modulo di introduzione ma sono ampiamente discusse nel corso RSW250.

L’analisi Weibull con Weibull++

Risorse video per Weibull++

ReliaSoft Weibull++ mette a disposizione un completo set di strumenti per l’analisi dei dati di vita utile e di degradazione di un prodotto, sia esso riparabile o non. Un potente software sviluppato da ingegneri dell’affidabilità per gli ingegneri dell’affidabilità. Vanta un’interfaccia molto intuitiva per visualizzare rapidamente un problema osservandolo sotto diversi punti di vista. Un calcolatore che risponde a qualsiasi tipo di domanda sulle curve generate dall’analisi, una forte reportistica personalizzabile e molte funzionalità a supporto di un’indagine di natura affidabilistica.

Per maggiori informazioni sul software ReliaSoft Weibull++ potete contattarci al seguente link.

Il file PDF.m contente il codice utilizzato per la realizzazione del grafico “Probability Density Function” in Octave è riportato di seguito ed è a libero utilizzo senza scopo di lucro. Si prega di contattarci per ulteriori informazioni.

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